Как перенести данные вебсайта в другую панель или к другому хосту?

Технически, и апгрейд с веб хостинга на ВПС с переносом данных, и смена пакета со сменой контрольной панели, и миграция между разными хостинг-провайдерами осуществляется одинаково. Чаще всего это можно сделать самостоятельно, используя средства контрольной панели (бэкап).  В случае переноса на идентичную контрольную панель – будет  перенесено 100% информации, в случае смены панели некоторую часть информации придётся восстанавливать.

Перенос из cPanel в cPanel

Полный перенос.
Для переноса данных из панели управления cPanel на cPanel клиенту достаточно предоставить полный бекап своего сайта в формате “*.tar.gz”. Зайдите в вашу cPanel и в разделе Files -> Backups нажмите Download a Full Website Backup

Перенос из cPanel в ISP Manager

Полный перенос.
Клиенту достаточно предоставить резервную копию своих файлов в формате .tar или .tar.gz, а также дамп базы данных в .sql формате.

Для создания дампа базы данных зайдите в вашу cPanel и в разделе Files -> Backups нажмите кнопку Download в секции Download a MySQL Database Backup

Это может быть не только cPanel, но и панели Plesk, Directadmin, ISP Manager и др.

Однако, для удобства лучше всего сразу отправить в техническую поддержку полный бекап сайта со всеми файлами и базами данных.